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怎样实现“举一反三、融会贯通”——初中数学复习法  
作者:石家庄市第40中学 梁建辉   文章来源:本站   点击数:268   更新时间:2017/11/11
 
 
什么是“融会贯通”?“融会贯通”出自宋朝的朱熹《朱子全书·学三》,它指将各方面知识都能汇聚起来,得到透彻的理解。比如我们把一个人的外表、行为举止等方方面面都了解了,那对他的行事也就可以做出一个准确的判断,这就叫“融会贯通”。它在数学上定义是狭义的,是说如果某一个数学知识各种用法非常熟悉了,它和相关知识之间的关系也非常熟悉了,也就是“融会贯通”。
什么叫“举一反三”?“举一反三”出自《论语》,是通过一类事情推得很多事情。比如说看到杨树落叶了,就想槐树也可能要落叶,柳树也要落叶,这叫“举一反一”。而当你看到杨树叶落了就想是不是秋天到了,天就要凉了;这个树叶落了,是不是生虫子了,才叫“举一反三”。我在数学上指的“举一反三”是最简单的,是说通过做一道题,或者几道题后,能够解决同类的题,我们就叫“举一反三”。
所以“举一反三”和“融会贯通”,我都把它这个限制降低了。通过刚才咱们对“举一反三”、“融会贯通”的限定,我们就很容易知道,绝大多数的人都是可以实现“举一反三”、“融会贯通”的,并不是只限于智力高的人。可是学生为什么不能实现“举一反三”,为什么对知识的掌握达不到“融会贯通”的程度?
为什么实现不了“举一反三”呢?我认为,学生不能实现“举一反三”,是因为脑子里没有那个“一”,如果有了那个“一”,他就可以“反三”了。一般来说,我们在整个学习过程中遇到了一个题就去想,这个题和哪一个题类似,然后用那道类似题的方法去解决新的问题,这样我们就把新的问题解决了。伟大的心理家和教育家皮亚杰认为人的认知就是一种同化和适应的过程。就是说,用所有的的认知解决新的问题。只要遇到新的问题,你就把它转化成一个过去熟悉的问题,用过去熟悉的问题去解释和解决,一旦能够解释了,你就会了。如果遇到的问题,一点都不知道,就把它重新植入大脑,就说这是一个新的问题,必须把它记住,之后再拿它作为一个最原始的知识来学新的东西。比如说上学的时候学乘法,2×4,我们说它是2+2+2+2,4个2相加,把乘法转换为加法来解释,于是说,乘法是几个相同加数和的运算。那我们学了乘法之后再用乘法,就不会再想它是几个加数和的运算了,就用乘法的法则去解决新的问题,比如乘方问题。说2的四次方,是4个2连着相乘,到最后学了乘方,又不会再想到乘法,所以它的知识就是用旧知识解决新知识,不断把知识体系扩充的过程。也就是说,刚才我说的这个“举一反三”的“一”,就是首先得要有这个“一”。如果这个知识之前就没有,比如2的平方等于4,3的平方等于9,那么谁的平方等于2呢?学生学到这就不会了,不会怎么办呢,那就做个规定,根号2的平方就等于2。
为什么学生对知识的掌握达不到融会贯通的程度?不是学生不下功夫,而是他努力了却没有收效,所以一定要告诉学生融会贯通的方法。后面我将告诉大家3种实现举一反三的方法和3种实现融会贯通的方法。
那什么是“融通归一法”?“融通归一法”,是我自己起的名字,它是“联想融通法”“归一法”的合称。而“联想融通法”是说对知识间关系进行沟通形成一体,或对同一知识的各种不同用法进行归纳总结,使学生对该知识各种用法了若指掌,最后能够达到融会贯通的复习法。因为联想融通法最主要的是学生通过自己的大脑去回忆、去搜索、去联想,达到知识的融会贯通,所以叫联想融通。“归一法”是多题归一、多解归一、还有照着做的统称。
联想融通法
根据定义可以发现,要想实现联想融通法,有3种方法,第一个就是找到知识间的联系,形成网络。第二个就是归纳同一知识在不同背景下的应用,使学生熟悉。第三个就是一题多解。
第一个,找到知识间的联系,形成网络。举例说明,公式是怎么记的。我们来看一下,梯形的面积公式是(上底+下底)乘以高除以2,三角形面积公式是底乘以高除以2,那它跟梯形面积公式有什么关系呢?如果要梯形让上底变成0,就变成三角形的面积公式了。那平行四边形的呢?让上底和下底相等,就转化成平行四边形的面积公式了。而扇形的面积公式有一种计算方法就是它弧长与半径乘积的一半。这公式很多学生记不住,但是经过一个对比,就能把它记牢了。其实扇形特别像一个等腰三角形。那三角形的面积公式是底乘以高除以2,扇形面积也可以近似看成是底乘以高除以2,也就是弧长乘以半径的一半。这些公式在小学学习时,是单一的。如果我们通过这样的联想把相关的知识通过一个点连起来,就能记清楚了。
再看一个例子,代数之间的关系。初中数学学了很多东西,正数负数,有理数,实数,代数式,分式,整式,一元一次方程,二元一次方程,分式方程,一元二次方程等等。这些东西在考试中,特别是在大题当中,以函数为背景来回转化,让掌握不好的人迷糊。如果能把代数之间的关系弄清楚就很简单了。小学是学数,初中引入字母就变成了式,让代数式相等就是方程,或者等式。如果两个式子不等就是不等式。用一个字母来表示代数式的值,就是函数。也就是说自变量变化,对应的唯一的函数也随着变化。对应每一个自变量的值,唯一的对应一个函数的值。同样,如果给函数变量一个值就变成了方程。初中数学还有一个分支叫统计与概率,它是研究大量无序数据的规律。所以我们经过这样的归纳,立刻就把初中代数知识系统起来了。
再举一个几何的例子,我称之为“定理合一”。两条直线相交形成的对顶角相等。那么把其中一个角沿角的一边向下平移,新位置所形成的角肯定和原角相等,新角和原角的对顶角也肯定相等,那两条直线肯定平行。也就是平行线的性质定律。紧接着,如果把这个角沿另外一条边向右平移,就形成一个井字型,而这里面有很多角是相等的,很多角是互补的。那如果两个角的两边是相互平行的,这两个角具有什么样的关系?多数情况下我们只答出相等的。而经过像这样一个对比之后你会发现,这两个角可能相等也可能互补。我们还可以用“+、-”号来解读这一图形。直线的延伸方向相同的标为“+”,相反的标为“-”。如果两个角的两边标号相同,那么这两个角就相等;如果有一边标号不同,那这两个角就互补;如果两边标号均不同,那这两个角也相等。这样不仅是把我们的定理掌握了,而且和我们代数上的正负得负、负负得正也联系起来了。
其实我们学习的正负号,最本质的意义并不是说正数、负数,它最本质的意思是相反或者一致。比如说正3乘以正2等于正6,我们举一个非常实在的例子就是上楼梯。“+3”代表从一个地方向上走三个台阶,乘以正2就是沿着这个指定的方向连续向上走两次,就是六个台阶。那如果要是负3乘以正2,我们可以规定负3代表以此向下走三个台阶,如果乘以正2,就是向下走连续走两次三个台阶,那就是六个台阶,用负6来表示。那负3乘以负2又不一样了,就变成向上走六个台阶。其实正负本身是没有什么大小的,它只是一个意义代表,一个是一致,一个是相反。只是我们记数之后,才规定了大小,而且人们习惯认为多的就记作正,少的记为负;高的记为正,低的记为负。于是我们为了符合数的这些运算和大小的比较才规定了正负。
经过这样的研究,我们就把对顶角相等,平行线的性质,即同位角相等、内错角相等、同旁内角互补以及我们刚刚说的这些都可以联系在一起,归为一个了。只要角的两边是分别平行的,如果这两个角两边是同向的,那就相等;如果都是逆向的也相等;一个同向一个逆向的就是互补。所以通过找知识间的关系,就可以形成知识的网络,就有助于学生实现融会贯通。这样,知识就不再是孤单的,而是成串的,连续在一起的。而且书越读越薄,学生就觉得“学这个东西,我都学透了”,学习就有信心了。
第二个就是归纳同一知识在不同背景下的应用。要举的例子就是怎么能够得到两角相等。先看两道题。第一道是前两年的一个中考题,能够做上它的人不到50%。这题非常简单说把直角三角形ABC绕着点A旋转这个角度得到了AB’C’,把BB’一连作一下射线CC’和AB交于点E,和BB’交于点F,证明△AEC和△FEB是相似的。学生在初二就学了旋转而且知道旋转角相等,但是因为没有进行归纳总结,很多学生不会做。第二道题是在圆O中,AB是直径,AE、BD是弦,且AD=DE。把AE和BD一连交于点C,问与∠BCE相等的角有几个。因为学生知识是零散的,所以能够做对这道题的有20%就不错了。
 
现在我们总结两角相等的方法:对顶角相等;平行线被第三条直线所截,同位角相等、内错角相等;角平行线分得的两角相等;全等三角形(相似三角形)对应角相等;等腰三角形两底角相等;已知两角相等那么把它们都加上相等的角或者都减去相等的角,那么最后的和差角也是相等的;经过折叠,也可以得到同角;旋转角相等;旋转中对应点与旋转中心所成的三角形都是等腰三角形,那它的底角是相等的;平行四边形,对角也相等;等腰梯形同一底上的两底角相等;三角函数值相等的角是相等的;在圆中同弧所对的圆形角是相等的。还有很多情况两角也相等,这里就列举了一部分。
这样经过重要的归纳后,再做这些题目就太简单了。第一道题,一看见旋转就有等腰三角形。即CAC和BAB都是等腰三角形。因为旋转角相等,所以这些等腰三角形都是相似的。所以角ACCABBACC、ABB都是相等的。这道题就解决了。第二道题,一看到圆形,就想到同弧或者同弦所对的圆周角相等,所对的圆心角也相等。半径组成的三角形都是等腰三角形。立刻就知道角EBD和ABD是相等的,三角形AOD和DOE全等。然后根据直径所对的圆周角是直角。则角BCE和角EBD互余,角ABD和角DAB互余,则角BCE和角DAB相等,即角DAB、ADO、EDO、DEO和角ECB都相等。还有个对顶角也相等。所以五个角一看就出来了,这个问题就迎刃而解了。
同样的,数学中的最值有多少,怎样得垂直等等知识都可以总结归纳整理出来。那遇到中点的题目怎么做,一般就分那么几类。第一类,利用中点构造全等。第二类,利用中点构造相似。第三类,利用中点连中线等分面积。所以一看中线就连中线做全等造相似。通过归纳整理之后,做题就会有思路,有思路才有出路。如果经常性的找关键词,进行整理,进行归纳,这些数学你想达不到融会贯通都难。
第三个是一题多解。咱们来看一道题目。已知D点坐标是(1,-3),E点坐标是(-1,-4)。你要在Y=X上找一点Q使得QD加上QE的和最小。求点Q的坐标。绝大部分同学都知道通过作对称点找到点Q。但是交点的坐标好多学生就不会了。其实总结一下,只要是直角坐标系的题目都可以用函数问题来解答。另外,我们还可以介入几何图形解决问题。这两种方法一对比,你的视野立刻就拓展了。
再看一个题。已知三角形ABC的中线BE、CD它们相交于点O,求证BO等于OE的二倍。这个题目上了初三,或学了相似太简单了。很多同学都知道DE是中位线。中位线平行并且等于第三边的一半。那在两个相似三角形中,EO和OB就是1:2,这道题很快就做出来了。如果这一道题做到这就结束,就失去了它的价值。这道题有很多很多解法。我的学生做出来的有十一二种。有通过辅助线做平行四边形的,有用不同顶点做中位线证相似的,还有用三条中线交于一点做的。那么经过这样一题多解之后,学生对知识的掌握就更加牢固和灵活,对学习也会越来越有兴趣。
“联想融通法”就是“你中有我,我中有你;前后照应,八方联系”。掌握知识,形成网络,提升能力,最终就实现了融会贯通。
归一法
“归一法”,我也提供了三种。第一个就是“多题归一”;第二个是“多解归一”;第三个叫“合情推理”,口语叫“照着做”。用“归一法”来帮助学生实现举一反三。
第一个叫“多题归一法”。先看一道题目,已知梯形ABCD,它的面积是4,M是腰CD中点,问三角形ABM的面积。一看这个题目,出现中点,构造全等就可以了。AD和BC是平行的,因此就有内错角相等,对顶角相等;借助这条线段的中点,于是得到两个三角形全等,那面积也就相等了,也就是实施了转化。那么因为三角形全等,M点又称了BE的中点,MB和ME相等,那么AM就是三角形ABE中,BE边上的中线了,那么三角形ABM和三角形AEM,它们是等底同高,所以面积相等。
 
再看下一个题目,说AB等于7,AC得5,AD是三角形ABC的中线。问AD的取值范围是多少。显然,这两个题一看,题目是不一样的,问题是不一样的,已知也是不一样的。但是咱们看它的解法。延长AD到E,使DE和AD相等,把这个BE一连,三角形BDE和ADC就是全等了。同样是通过中点造全等。造了全等之后,AC得5,转化为BE得5,那么在三角形ABC当中,我们根据三边关系,那么两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,立刻知道AE就小于5加7,小于12,大于7减5,大于2。那么AE又是AD的2倍,那么AD就是大于1,小于6的。
这两个题,类型是不同的,已知条件也不一样,问题也不一样,但是它的方法是相同的。我们把背景不同、问题不同、能够有一个共同方法的题目归结到一起,找到解决问题的通法。这就是“多题归一法”。这样“一”在学生心中也建立起来了。
大家再感受一下“多解归一法”。说三角形ABC中,延长BC到D,使得BC等于CD,取AB的中点F,连接FD交AC于点E,求AE:AC的值。这也是中点的题目,但是全等挺难造的。学生的方法是做平行,通过相似做出这道题目。当然,不同的学生作平行的方式也是不相同的。做完这道题再做下面这道,说是OA等于OB,角AOB是90度,D、C是中点,求AP:PC的值。一样是过中点D或者C做平行线。这样就可以总结出“见中点,做平行,用相似”。也可以通过连接CD和AB,构成平行线。也就是,如果两条线段具有公共的端点,并且它们的中点都知道了,但是这两条线段,没有构成三角形,就通过找出这两条线段所在三角形,造上三角形。
这就叫“多解归一”。我们刚才这么多的解法,它的共同点和关键点,就是中点。见中点,造平行,所有的思路都是一样的。于是,再把这道题给这学生,通通都知道怎么做平行线了。所以“多解归一”,就是有的题目看起来有很多解法,但它归结到最关键的是一个点。“多解归一”,就是找到通法,找到解题的关键点。这样也可以实现举一反三。我们经过这样的努力之后,很多题目,学生拿到就做,就有思路了。
再看第三个“照着做”。“照着做”,叫合情推理,又叫知识的迁移。咱们来用一道简单的题目说明这个问题。已知ABC和EFP都是等腰直角三角形,BC、FP在直线L上,EP和AC交于点Q,求证AP等于BQ。显然,这AP等于BQ要找它所在的三角形全等。我们一观察,等腰直角三角形的底角是45度,又有直角,又有等腰。三角形QCP和EFP相似,即QCP也是等腰直角三角形,QC等于CP。然后,借助BC等于AC,AC和BC垂直,就可以发现,三角形BCQ和ACP全等,那么AP和BQ就相等了。这个题是比较简单的,一般中等生就能做出来。这是河北省08年的中考题。这是它的第一问,咱们再看它第二问。
 
第二问是说把三角形EPF向左平移,那平移到这个位置之后,EP的延长线和AC的延长线交于Q,问AP和BQ还相等吗?这一下,学生就不会了。遇到一道题,如果不会,看看能不能“照着做”。刚才,怎么找到CP等于CQ的,我们是借助了角EPF等于45度,那么在移动后的图形上看,要想得到CP等于CQ,我们能不能也借助角EPF等于45度,通过借助对顶角相等,AC和BC垂直,直角三角形,得到三角形CPQ是一个等腰直角三角形。我们刚才证的是三角形ACP和BCQ全等,我们现在一样,借助CA等于CB,角PCA和BCQ是90度,CP等于CQ,得到三角形全等。
这个题目是如果第一问会做了,第二问直接抄下来就行,因为所有的思路都是一样的。唯一的不同点就是,第一个图我们根据角EPB得45度,第二个图是EPF的顶角是45度。用了顶角,这是唯一的区别。
虽然它们的图不同,但思路是一样的。所以叫“照着做”。像“照着做”这一类的题目,在全国中考试题当中有很多很多。河北省过去年年都会有这样的题,它出现在中考的探究题、证明题、阅读理解题等大题当中。这样子的题目一般都在10分以上。也就是说,如果我们学会了这种方法,就等于学会了一种考试技巧。这是最起码的。其次,就是学会了把简单的问题解决的方法,挪到、迁移到复杂的问题当中去。我们刚才总结的这几条,其实都是由一个问题,移入另一个问题当中。所以举一反三也是这样。我们把一个“一”确定了,然后逐渐地用解决它的方法来解决别的问题。能够把原有的知识,迁移到新的环境当中去,都是一种迁移的能力。“照着做”就是培养人的一种知识的迁移能力。这种能力谁都有,关键是我们怎么在数学上去处理它。如果老师或是家长,能够抓好学生这一方面的工作,做好这一方面的工作,那学生的成绩,肯定能够大幅提升。
其实“归一法”就是一种迁移。咱们现在来想一下,在中学学习当中,有什么是用“归一法”的。它的核心是转化、迁移。在数学教学上,说这叫化归思想。它的方法就是建立一个“一”于脑中。
举个例子。所有求值的题,在小学是列关系式,到了初中就是列方程。所以当你看到,一说求值,就想要列个方程,然后再解方程。这就是一个最简单的归一。那么怎么解方程呢,我们只要是遇到的方程都要想办法消元转化为一元来,然后降次,将高次的降至低次,降成一元一次的或是一元二次的,这也叫归一。我们归一就是归到最原始的那个知识点上。再看我们研究问题的方法,也总是从最简单的开始,逐渐的把它拓展开来,这叫研究方法的归一性。
再比如说,函数。函数是很多学生觉得害怕的,其实它有通法。我们研究函数,通通都是先画图,再研究性质,当你遇到函数比较难的情况画画图就可以了。
所以联想融通法、归一法,我觉得可以让学生们更好地掌握知识,然后形成网络,提升能力,拥有策略。只要按照刚才所讲的去实践,大家最终都可以实现举一反三、融会贯通的。

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